\documentclass[a4paper]{ctexart}
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\usepackage{enumerate}

\CTEXsetup[format = {\Large\bfseries}]{section}%section符号左对齐
\setlength{\parindent}{0pt}%去掉section后的内容的首行缩进
\title{第一次作业}
\author{付临\\3200104960\\信息与计算科学}

\begin{document}
\maketitle
\section{}
    解：
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item 第$n$次间隔为$2^{1-n}$
        \item 跟$r$与区间中点距离的上界为$2^{2-n}$
    \end{enumerate}
\section{}
    证明:\\
    若第$n$次成功,则二分了$n+1$次，区间长度为$\frac{b_{0}-a_{0}}{2^{n+1}}$，
    此时:
    \begin{gather*}
        \frac{b_{0}-a_{0}}{2^{n+1}}<\varepsilon r\\
        \ln (b_{0}-a_{0}) < \ln \varepsilon  + \ln r +(n+1)\ln 2\\
        \frac{\ln (b_{0}-a_{0})-\ln \varepsilon -\ln r}{\ln 2} - 1 \leq  n
    \end{gather*}
    \\因为$r\epsilon [a_{0},b_{0}]$,且对于任意$r$都成立，故n应该大于等于左式的最大值，即$r$取$a_{0}$,
    得证。
\section{}
解：
根据牛顿迭代公式：
\begin{equation*}
    x_{n+1}=x_n-\frac{P\left(x_n\right)}{P^{\prime}\left(x_n\right)}, \quad n \in \mathbb{N}
\end{equation*}
经过四次迭代可以得到以下表格：
\begin{equation*}
    \begin{array}{|c|c|c|}
    \hline n & x_i & P\left(x_i\right) \\
    \hline 1 & -1 & -3 \\
    \hline 2 & -0.8125 & -0.4658 \\
    \hline 3 & -0.7708 & -0.0201 \\
    \hline 4 & -0.7688 & -4.37 \times 10^{-5} \\
    \hline
    \end{array}
\end{equation*}

\section{}
解：
设根为$r$,由泰勒公式得：
\begin{gather*}
    f(r) = f(x_{n})-(r-x_{n})f'(\xi )\\
    -r = -x_{n}+\frac{f(x_{n})}{f'(\xi)}\\
    \because x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{0})}\\
    \therefore x_{n+1} - r = f(x_{n})(\frac{1}{f'(\xi)}-\frac{1}{f'(x_{0})})\\
    \therefore e_{n+1} = f(x_{n})(\frac{1}{f'(\xi)}-\frac{1}{f'(x_{0})})\\
    e_{n} = f(x_{n-1})(\frac{1}{f'(\xi)}-\frac{1}{f'(x_{0})})\\
    \therefore e_{n+1} = \frac{f(x_{n})}{f(x_{n-1})}e_{n}
\end{gather*}
即得到$C = \frac{f(x_{n})}{f(x_{n-1})}$，$s = 1$ 

\section{}
解：当$x\epsilon [0,\frac{\pi }{2}]$时，
\begin{gather*}
    x_{n+1}-x_{n} = \arctan x_{n} - x_{n}\\
\end{gather*}
令$f(x) = \arctan x - x$，则$f'(x) = \frac{1}{1+x^{2}}-1<0$，
因为$f(0)=0$，则$f(x)<0$，即$x_{n+1}-x_{n}<0$，即${x_{n}}$单调递减,
又因为$\arctan x$有界，由单调有界定理可得，${x_{n}}$收敛，解
\begin{gather*}
    x = \arctan x
\end{gather*}
得到$x = 0$，即$\lim_{n \to \infty} x_{n} = 0$,当$x\epsilon [-\frac{\pi}{2},0]$
时，同理。

\section{}
解：设$f(x) = \frac{1}{p+x}$，则原式转化为
\begin{equation*}
    x_{n+1} = f(x_{n})=\frac{1}{p+x_{n}}
\end{equation*}
当n$\rightarrow \infty$时，因为$p>1$，则$f(x)<1$，根据观察可以看出，
${x_{n}}$一次递减，一次递增，增减交替，并且每次改变幅度逐步减小，故
随着n的增大，该数列收敛，我们解
\begin{equation*}
    x = \frac{1}{p+x}
\end{equation*}
得$x = \frac{-p\pm \sqrt{p^{2}+4} }{2}$


\section{}
    证明:\\
    若第$n$次成功,则二分了$n+1$次，区间长度为$\frac{b_{0}-a_{0}}{2^{n+1}}$，
    此时:
    \begin{gather*}
        \frac{b_{0}-a_{0}}{2^{n+1}}<\varepsilon \left\lvert r \right\rvert \\
        \ln (b_{0}-a_{0}) < \ln \varepsilon  + \ln (\left\lvert r\right\rvert ) +(n+1)\ln 2\\
        \frac{\ln (b_{0}-a_{0})-\ln \varepsilon -\ln (\left\lvert r\right\rvert  )}{\ln 2} - 1 \leq  n
    \end{gather*}
    \\因为$r\epsilon [a_{0},b_{0}]$,且对于任意$r$都成立，故n应该大于等于左式的最大值，又因为
    $a_{0}<0<b_{0}$，故取$\ln(\left\lvert r\right\rvert )$ 最小即可，此时需要取r无限趋近于0，
    此时n无限大，显然不合理   
\end{document} 